आव्यूह: परिभाषा और प्रकार (Matrix: Definition and its Types)

एक Matrix संख्याओं (Numbers) या फलनों (Functions) की एक क्रमबद्ध आयताकार सारणी (Ordered Rectangular Array) होती है। इन संख्याओं या फलनों को Matrix के Elements (अवयव) या Entries कहा जाता है।

इसे आमतौर पर square brackets [ ] या parentheses ( ) द्वारा दर्शाया जाता है।

सामान्य प्रदर्शन (General Representation):

यदि किसी Matrix $A$ में $m$ पंक्तियाँ (Rows) और $n$ स्तंभ (Columns) हैं, तो इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है:

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}

Rows (पंक्तियाँ): Elements की क्षैतिज रेखाएँ (Horizontal lines)।

Columns (स्तंभ): Elements की ऊर्ध्वाधर रेखाएँ (Vertical lines)।

Order (कोटि): यदि किसी Matrix में $m$ Rows और $n$ Columns हैं, तो उसका Order m×n ( $m$ by $n$ ) कहलाता है।

Matrix के प्रकार (Types of Matrices)

Matrix को उनके elements की व्यवस्था और उनके Order के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है।

1. Row Matrix (पंक्ति आव्यूह)

वह Matrix जिसमें केवल एक Row होती है।

Order: $1 \times n$

उदाहरण:

$A = [1, 5, 9]$

2. Column Matrix (स्तंभ आव्यूह)

वह Matrix जिसमें केवल एक Column होता है।

Order: $m \times 1$

उदाहरण: $B = [\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}]$

3. Rectangular Matrix (आयताकार आव्यूह)

एक ऐसा Matrix जिसमें Rows की संख्या, Columns की संख्या के बराबर नहीं होती ( $m \neq n$ )।

उदाहरण:

$C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \quad (2 \times 3)$

4. Square Matrix (वर्ग आव्यूह)

एक ऐसा Matrix जिसमें Rows की संख्या, Columns की संख्या के बराबर होती है ( $m = n$ )।

उदाहरण:

D = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \quad (2 \times 2)

5. Diagonal Matrix (विकर्ण आव्यूह)

एक Square Matrix जिसमें मुख्य विकर्ण (Principal Diagonal) के अलावा बाकी सभी elements शून्य (zero) होते हैं।

शर्त: $a_{i j} = 0$ यदि $i \neq j$ .

उदाहरण: $E = [\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}]$

6. Scalar Matrix (अदिश आव्यूह)

यह एक ऐसा Diagonal Matrix है जिसके सभी Diagonal elements समान (equal) होते हैं।

शर्त: Non-diagonal elements 0 होते हैं और Diagonal elements = $k$ (constant).

उदाहरण: $F = [\begin{array}{ccc} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array}]$

7. Identity Matrix (तत्समक आव्यूह)

एक Square Matrix जिसके सभी Diagonal elements 1 होते हैं और बाकी सभी elements 0 होते हैं। इसे $I \$ से दर्शाया जाता है।

उदाहरण ( $I _3$ ): $I = [\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ (नोट: गुणा में, $A×I=A$ होता है)

8. Zero Matrix / Null Matrix (शून्य आव्यूह)

एक ऐसा Matrix (किसी भी Order का) जिसके सभी elements शून्य (zero) होते हैं। इसे OO से दर्शाया जाता है।

उदाहरण: $O = [\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}]$

9. Upper Triangular Matrix (उपरि त्रिभुजाकार आव्यूह)

एक Square Matrix जिसमें मुख्य विकर्ण (Main Diagonal) के नीचे के सभी elements शून्य होते हैं।

उदाहरण: $U = [\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}]$

10. Lower Triangular Matrix (निम्न त्रिभुजाकार आव्यूह)

एक Square Matrix जिसमें मुख्य विकर्ण (Main Diagonal) के ऊपर के सभी elements शून्य होते हैं।

उदाहरण: $L = [\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}]$

11. Symmetric Matrix (सममित आव्यूह)

एक Square Matrix जिसका Transpose मूल Matrix के बराबर होता है ( $A^{T} = A$ )।

पहचान: यह विकर्ण (Diagonal) के दोनों तरफ एक जैसा (Mirror image) दिखता है।

उदाहरण: $S = [\begin{array}{ccc} 1 & 7 & 3 \\ 7 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 0 \end{array}]$

12. Skew-Symmetric Matrix (विषम सममित आव्यूह)

एक Square Matrix जिसका Transpose मूल Matrix के ऋणात्मक (Negative) के बराबर होता है ( $A^{T} = - A$ )।

शर्त: इसके मुख्य विकर्ण (Main Diagonal) के सभी elements शून्य होने चाहिए।

उदाहरण: $K = [\begin{array}{ccc} 0 & 2 & - 3 \\ - 2 & 0 & 5 \\ 3 & - 5 & 0 \end{array}]$

13. Singular Matrix (अव्युत्क्रमणीय आव्यूह)

एक Square Matrix जिसका Determinant शून्य होता है ( $∣ A ∣ = 0$ )। इस Matrix का Inverse नहीं निकाला जा सकता।

14. Non-Singular Matrix (व्युत्क्रमणीय आव्यूह)

एक Square Matrix जिसका Determinant शून्य नहीं होता है ( $∣ A ∣ \neq 0$ )। इस Matrix का Inverse निकाला जा सकता है।